皆さんは“モンティ・ホール問題”を知っていますか？
これは数学の確率の問題です。
一見簡単に見える問題ですが、よく考えていくと面白い結果になります。
それではまず問題を見ていきましょう。
皆さんも考えながら問題を読み進めてみてください。
あなたはあるテレビ番組の企画に挑戦しています。
あなたの前にはA、B、Cの3つの扉があります。
そのうち1つがアタリ、2つがハズレの扉です。
アタリの扉の向こうにはあなたの欲しいものが、ハズレの扉の向こうには何もありません。
あなたはその3つの扉のうちから1つ選びます。
そして、選んだ扉の向こうにある物を手に入れることができます。
まずは、1つ扉を選んでください。
選びましたね？
ここで司会者があなたが選んでいない扉のうち、ハズレの扉を1つ開けます。
それを見た後、あなたはもう一度扉を選びなおすことができます。
あなたは扉を変えますか？
それとも最初に選んだ扉のままにしますか？
いかがですか？
扉を変えない方がよいのか、変えた方がよいのか、はたまたどちらも変わらないのか。
皆さんはどう考えたでしょうか？
最初に扉を選んだ時にアタリを選ぶ確率は、3つのうち1つがアタリなわけですから、当然1/3です。
司会者が扉を開けた後も3つのうちから選んだことには変わりないから、確率はどれを選んでも変わらず1/3に違いない。
こう考えた方はいるでしょうか？
この考えは間違いです。
選びなおす時点ではすでに選択肢が2つに絞られているのですから、どちらを選んでも1/3というのはあり得ませんね。
これは1つ扉を選んだ時、選ばなかった扉の1つがハズレであるときの条件付確率ではないか。
こう考えた方は高校の確率をよく勉強していますね。
それではこの場合について考えていきましょう。
まず最初にAの扉を選んだとします。そして司会者はBの扉を開けたとします。
扉を変えなかった場合アタリになるのは以下の場合です。
事象A：Bの扉がハズレである
事象B：Aの扉がアタリである
扉を変えた場合アタリになるのは以下の場合です。
事象A：Bの扉がハズレである
事象B：Cの扉がアタリである
条件付確率は以下の公式で求められます。
この公式を使って計算していきましょう。
まず扉を変えなかった場合を考えます。
Bの扉がハズレであるのは(A,B,C)=(〇,✖,✖)(✖,✖,〇)の2通り
Bの扉がハズレかつAの扉がアタリであるのは(A,B,C)=(〇,✖,✖)の1通りなので確率は
P(A)=2/3 P(A∩B)＝1/3 となります。
これを条件付確率の公式に当てはめると1/3÷2/3＝1/2 となります。
次に扉を変えた場合を考えます。
Bの扉がハズレであるのは(A,B,C)=(〇,✖,✖)(✖,✖,〇)の2通り
Bの扉がハズレかつCの扉がアタリであるのは(A,B,C)=(✖,✖,〇)の1通りなので確率は
P(A)=2/3 P(A∩B)＝1/3 となります。
これを条件付確率の公式に当てはめると1/3÷2/3＝1/2 となります。
ちなみに、司会者が扉を開いた時点で2つの扉から選び直すのだからアタリの確率は1/2である。と考えても同じ確率になりますね。
以上のように考えると扉を変えた場合も扉を変えなかった場合もアタリの確率は1/2になります。
だから変えても変えなくても同じだろう。
実はこれも間違いなのです。
よく考えられている考え方ではありますが、条件の置き方が不適切です。
あえて条件付確率で考えるならば以下の条件にしなければなりません。
事象A：司会者がハズレの扉を開く
事象B：Aの扉がアタリであるorあなたも司会者も選ばなかった扉がアタリである
司会者は必ずハズレの扉を開くのですからP(A)＝1ですね。
では、いったいどうするのが良いのでしょうか？
その答えはまた次の記事で紹介します。続きをお楽しみに～！
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